Le régime variable correspond aux formes finales des Equations de Maxwell. Ce sont les équations du Magnétostatisme et de l'Electrostatisme avec l'ajout de la dépendence temporelle.

Induction électromagnétique

Le phénomène d'induction électromatique apparaît dans un circuit en mouvement situé dans un champ magnétique constant ou alors dans un circuit fixe situé dans un champ magnétique variable.

Loi de Faraday
Loi de Lenz

Relation de Maxwell-Faraday

Equations de Maxwell
On s'intéresse au cas des régimes variables dans le temps.
$$\vec{rot}(\vec E)=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$
$$\implies \vec E={{-\frac{\partial \vec A}{\partial t}-\vec{grad}(V)}}$$
Avec:
- \(\vec A\): potentiel magnétique
- \(V\): potentiel global

Démonstration de la relation de Maxwell-Faraday

On sait que $${\subset\!\supset} \llap{\iint}_S\vec B.d\vec S=0$$
Cela implique, par Théorème d'Ostrogradsky - De la divergence, que:
$$div(\vec B)=0$$
Alors:
$$\vec B=\vec {rot}(\vec A)$$
Avec \(\vec A\), un potentiel vecteur

$$\vec{rot}(\vec{E}+\frac{\partial \vec A}{\partial t} )=0$$
Alors, il existe un potentiel \(V_G\) scalaire:
Donc:
$$\vec E=-\vec{grad}(V_G)-\frac{\partial\vec A}{\partial t}$$

$$\vec {rot}(\vec E)=\frac{\partial B}{\partial t}=\frac{\partial (\vec{rot}(\vec A))}{\partial t}$$

Applications

- Auto-induction d'une bobine
- Induction mutuelle
- Générateurs électromagnétiques
- Courants de Foucault

Paradoxe de Maxwell

D'aprés le Théorème d’Ampère, le champ \(\vec B\) peut être:
- \(\vec B = \mu_0I(t)\) pour (\(C_2\))
- \(\vec B = \vec 0\) pour (\(C_1\))

Or, d'après le Principe de conservation de la charge à densité constante:
$$div(\vec j)=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$
Théorème d’Ampère
$$\vec{rot}(\vec B)=\vec j$$
Par définition:
$$div(\vec{rot}(\vec B))=div(\vec j)=0$$

Alors, il introduit: $$\vec j_D=\frac{\partial \vec D}{\partial t}=\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$$
Avec:
- \(\vec j_D\): le courant de déplacement
- \(\vec D\): Induction magnétique
Finalement:
$$\vec j= \vec j_{Courant}+\vec j_D$$

Il corrige alors l'équation l'équation \(\vec rot(\vec B)=\mu_0 \vec j\):
Equations de Maxwell

Energie électromagnétique

Densité volumique d'énergie électromagnétique

Cette densité est la somme des densités dû à l'Electrostatisme et au Magnétostatisme.
$$e_{em}={{\frac 12 (\vec E.\vec D+\vec B.\vec H)}}$$
Avec:
- \(\vec D\): Induction électrique
- \(\vec H\): Induction magnétique